Hölderian Invariance Principle for Hilbertian Linear Processes

Let (ξn)n≥1 be the polygonal partial sums processes built on the linear processes Xn = ∑ i≥0 ai( n−i), n ≥ 1, where ( i)i∈Z are i.i.d., centered random elements in some separable Hilbert space H and the ai’s are bounded linear operators H → H, with ∑i≥0‖ai‖ < ∞. We investigate functional central limit theorem for ξn in the Hölder spaces H o ρ(H) of functions x : [0, 1] → H such that ‖x(t+ h) − x(t)‖ = o(ρ(h)) uniformly in t, where ρ(h) = hL(1/h), 0 ≤ h ≤ 1 with 0 < α ≤ 1/2 and L slowly varying at infinity. We obtain the Hρ(H) weak convergence of ξn to some H valued Brownian motion under the optimal assumption that for any c > 0, tP (‖ 0‖ > ctρ(1/t)) = o(1) when t tends to infinity, subject to some mild restriction on L in the boundary case α = 1/2. Our result holds in particular with the weight functions ρ(h) = h ln(1/h), β > 1/2. Résumé. Soit (ξn)n≥1 le processus polygonal de sommes partielles bâti sur le processus linéaire Xn = ∑ i≥0 ai( n−i), n ≥ 1, les ( i)i∈Z étant des éléments aléatoires i.i.d., centrés d’un espace de Hilbert séparable H et les ai’s des opérateurs linéaires bornés H → H, vérifiant ∑i≥0‖ai‖ < ∞. Nous étudions le théorème limite central fonctionnel pour ξn dans les espaces de Hölder H o ρ(H) de fonctions x : [0, 1] → H vérifiant ‖x(t+ h)− x(t)‖ = o(ρ(h)) uniformément en t, où ρ(h) = hL(1/h), 0 ≤ h ≤ 1 avec 0 < α ≤ 1/2 et L à variation lente. Nous prouvons la convergence en loi dans Hρ(H) de ξn vers un mouvement brownien à valeurs dans H, sous la condition optimale que pour tout c > 0, tP (‖ 0‖ > ctρ(1/t)) = o(1) quand t tend vers l’infini, au prix dans le cas limite α = 1/2 d’une légère restriction sur L. Notre résultat s’applique en particulier au cas ρ(h) = h ln(1/h), β > 1/2. Mathematics Subject Classification. 60F17, 60B12. Received December 14, 2007. Revised March 11, 2008. Introduction Let us denote by C[0, 1] = C([0, 1],R) the space of continuous functions x : [0, 1] → R, endowed with the supremum norm. The classical Donsker-Prohorov invariance principle states the C[0, 1]-weak convergence to